%% OPERAZIONI CON LE MATRICI
% TESTO

% 1a) Creare una matrice identità di dimensione p (assegnare alla variabile p
% un valore qualsiasi) tramite un doppio ciclo for. Creare la matrice
% identità con il comanda eye.
% 1b) Creare la matrice diagonale con elementi sulla diagonale principale
% pari a [2 5 7] e mostrarla nella command
%
% 2) date 3 matrici A, B e C di dimensione mxn, nxo, oxp, verificare la
% regola della moltiplicazione della matrice trasposta 
% (A*B*C)' = C' * B' * A'
%
% 3) Risolvere il sistema di equazioni lineari (A x = b) che segue:
% 3x1+5x2+4x3=25
% 2x1+10x2+x3=25
% 2x1+2x2+9x3=33
%
% 4) dato un vettore colonna x di numeri casuali estratti dalla
% distribuzione normale, scrivere in maniera matriciale la somma dei
% quadrati di x
%
% 5a) dato  un vettore colonna x=(1 2 3)' e un vettore lambda = (2, 3, 6)
% scrivere in maniera matriciale la somma dei quadrati ponderata, ossia
% $\sum_{i=1}^3 x_i^2 \lambda_i$
% 5b) Scrivere la somma dei quadrati ponderati in maniera simbolica


% 6) Generare una matrice di numeri causali dalla distribuzione normale di
% dimensione nxp. Denominare questa matrice X. Assegnare ad n e p numeri
% interi a piacere (con n>p). Calcolare la matrice di covarianze S.
% Verificare empiricamente che la tramite 10000 simulazioni del vettore x
% che la forma quadratica $x'Sx$ è definita positiva. Fare lo storing dei
% 10000 scalari $x'Sx$ in un vettore di dimensione 10000x1 denominato
% formaquad. Mostrare il valore più piccolo di x''Sx delle nsimul
% simulazioni nella command window
%
% Generare una matrice di numeri casuali di dimensione nxp, denominata A,
% dalla distribuzione normale. Premoltiplicare e postmoltiplicare la
% matrice precedente in modo appropriato per poter estrarre l'elemento che
% si trova all'incrocio della riga i e della colonna j (porre i=2, j=5,
% n=10 e p=6)
%
% 8) Data una matrice di numeri casuali di dimensione nxp (ad esempio n=7 e
% p=3), calcolare in maniera matriciale la matrice Xtilde (degli
% scostamenti dalla media) passando attraverso la matrice simmetrica e
% idempotente H
%
% 9) Calcolare in maniera matriciale la matrice di covarianze 
% Confrontare il risultato con quello ottenuto tramite la
% funzione cov
%
% 10) Calcolare in maniera matriciale la matrice degli scostamenti
% standardizzati. Confrontare il risultato con quello ottenuto tramite la
% funzione zscore
% 11) Calcolare:
% 11a) la matrice di correlazione partendo dalla matrice Z
% 11b) la matrice di correlzione tramite la funzione corr 
% 11c) in maniera matriciale tramite le matrici D, X,  H 
%
%
%% OSSERVAZIONE: 
% prima di risolvere la parte di seguito fare l'esercizio nel file
% autov.m
%
% 12) Estrarre gli autovalori ed autovettori della matrice di covarianze e
% verificare la scomposizione spettrale della matrice S
%
% 13) Verificare che la matrice S può essere scritta come
% S= \sum_{i=1}^p \lambda_i v_i v_i'
% Ripetere le stesse operazioni sulla matrice di correlazione R
%  Ricostruzione della matrice di correlazione utilizzando solo i primi due
%  autovalori più grandi (chiamare questa matrice Rhat)
%  Mostarre le differenze tra la matrice R originale e la matrice Rhat
%  tramite grafico heatmap
%
% 14) Scomposizione in valori singolari la matrice Xtilde e verificare la
% scomposizione svd. Verificare che la matrice X tilde può essere scritta come
% Xtilde= \sum_{i=1}^r \gamma_i u_i v_i'
% Verifica del rango della coponente i esima di questa somma ossia il rango della
% matrice  \gamma_i u_i v_i'
% Ricostruire la matrice Xtilde utilizzando solo i primi due addendi della somma
% Rappresentare graficamente tramite heatmap la differenza tra Xtilde e
% Xtildecappello formata dai primi due valori singolari e commentare il grafico
%
%  Verificare che se al posto della matrice Xtilde si sostituisce la
%  matrice Xtildecappello formata dai primi due valori singolari la somma
%  dei quadrati dei residui diviso (n-1) è pari alla somma degli
%  autovalori della matrice di covarianze di S escludendo i due più grandi