%% TESTO
% 1) Importare in formato table (utilizzare come nomi delle righe le
% province) i dati presenti nel file benessere.xlsx
% 2) Calcolare la matrice di correlazione, la matrice che contiene le
% componenti principali (Y=Z V). Qual è la matrice di covarianze di Y? 
% 3) Calcolare la quota di varianza (relativa e cumulata) spiegata da ogni
% componente principale. Visualizzare la varianza spiegata dalle diverse
% componenti tramite diagramma di Pareto
% 4) Calcolare le correlazioni tra le variabili originarie e le
% componenti principali (matrici di componenti).  Calcolare le correlazioni
% direttamente applicando la formula $V \sqrt \Lambda$ oppure facendo
% riferimento alla funzione corr. 
% Verificare che la somma dei quadrati delle colonne della matrice di
% componenti sono uguali ai rispettivi autovalori. 
% Rappresetare tramite grafici a barre la correlazione tra le variabili
% originarie e le due componenti principali. Inserire i due grafici in due
% subplots. Aggiungere nel grafico a barre sopra le barre l'indicazione del
% valore numerico.
% 5) Calcolare le componenti principali (non standardizzate) Y=Z*V;
% Verificare tramite la funzione corr che le correlazioni tra la j-esima
% componente principale e le p variabili originarie sono uguali alla
% colonna della j-esima della matrice di componenti. Verificare che la
% matrice di covarianze delle p componenti principali è diagonale e
% contiene sulla diagonale principale gli autovalori di R. 
% 6) Partendo dalla matrice di componenti, calcolare le  comunalità
% (quote di varianza di ogni variabile spiegate dalla prime due componenti
% principali)
% Verificare che le comunalità (indici R2) si possono anche ottenere
% tramite una regressione multipla in cui la variabile in oggetto
% (variabile dipendente) viene regredita sulle prime due componenti
% principali (variabili esplicative). Verificare questo risultato con
% riferimento alla seconda variabile.
% 7) Rappresentare nel piano cartesiano tramite frecce delle prime due colonne
% della matrice di componenti, prima utilizzando la funzione biplot, poi
% tramite l'implementazione manuale e successivamente tramite la funzione
% quiver
% 8) Rappresentare nel piano cartesiano gli score non standardizzati (prime
% due colonne della matrice Z*V inserendo le etichette di riga) e poi gli score
% standardizzati (componenti principali standardizzate = componenti
% principali con matrice di covarianze uguale all'identità), inserendo le
% etichette appropriate per gli assi cartesiani.
% Verificare che la matrice degli score standardizzati si può ottenere tramite
% la scomposizione in valori singolari della matrice Z passando per la matrice U.