%% ESAME METODI QUANTITATIVI PER I MERCATI FINANZIARI  11/01/2023


%% ESERCIZIO 1 (15 punti)

% Creare tramite ciclo oppure moltiplicazione matriciale la matrice 
% X che segue (punti 5)
%
%  6     8    10    12    14    16    18    20
%  9    12    15    18    21    24    27    30
% 12    16    20    24    28    32    36    40
% 15    20    25    30    35    40    45    50
% 18    24    30    36    42    48    54    60
% 21    28    35    42    49    56    63    70
% 24    32    40    48    56    64    72    80
%
%
X=(2:8)'*(3:10);
disp(X)

% Caricare in memoria il dataset swiss_banknotes tramite l'istruzione
% load swiss_banknotes 
% Questo dataset contiene 6 caratteristiche di 200
% banconote. 
% Per ogni variabile del dataset, costruire un grafico ad istogrammi con
% sovraimposta la densità normale e verificare l'adattamento. Inserire in
% ogni pannello il nome della variabile nel titolo dell'asse
% delle ordinate.
% Commentare il grado di adattamento alla distribuzione normale di ogni
% variabile. (punti 5)

% L'esercizio di cui sopra è esattamene uguale all'Esercizio 8.5 di p. 220 del
% testo

% Per ogni variabile calcolare il test di normalità.
% Inserire il pvalue del test di normalità di ogni variabile in un vettore
% colonna denominato con le prime 4 lettere (senza accenti) del proprio
% cognome. Commentare i p-values. (punti 5)

load swiss_banknotes 

% p=numero di colonne del dataset
p=size(swiss_banknotes,2);

% Inizializzo il vettore che conterrà i p-values dei test di normalittà
RIAN=zeros(p,1);

for j=1:p
    nexttile
    Xj=swiss_banknotes{:,j};
    [~,pval]=jbtest(Xj);
    RIAN(j)=pval;
    histfit(Xj)
    ylabel(swiss_banknotes.Properties.VariableNames{j})
end
disp('P value del test di Normalità per le 6 variabili')
disp(RIAN)
% Commento: le variabili 3 e 5 possono essere considerate normali
% La variabile 2 presenta un  p-value intorno a 0.10. 
% Per le variabili 1, 4 e 6 al livello alpha del 5% rifiuto l'ipotesi nulla
% di normalità.
    

%% ESERCIZIO 2 (15 punti)

% Si considerino 3 titoli con tassi di rendimento rispettivamente r1, r2 e r3. 
% La matrice di covarianza e i tassi di rendimento attesi sono uguali a:

% A=[2 1 0; 1 2 1; 0 1 2]; m=[0.4 0.4 0.8];

%% 1. (6 punti ) Si calcoli il rendimento atteso, la varianza e le quote del portafogli di minima varianza 
% supponendo l'esistenza del vincolo di bilancio, no vendite allo scoperto e del vincolo: "x_1+x_3<=1", dove x_1 e x_3 
% danno rispettivamente i pesi del titolo 1 e 3;

A=[2 1 0; 1 2 1; 0 1 2]; 
m=[0.4 0.4 0.8];
n=3;
[Xmin, fvalmin] = fmincon(@(x) sqrt(x'*A*x), ...    % fissa l'obiettivo
                ones(n,1)/n, ...                    % imposta i valori di ipotesi/partenza
                [1 0 1], 1, ...                     % vincolo di disuguaglianza
                ones(1,n),1, ...                    % vincolo di uguaglianza
                zeros(n,1),[]);                     % vettore lb
                mu_min=m*Xmin;                      % il rendimento atteso
                disp('Rendimento atteso')
                disp(mu_min)
                disp('Varianza')
                disp(fvalmin^2);                   % la varianza
                disp('Quote di portafoglio')
                disp(Xmin);                               % quote di portafogli

%% 2. (5 punti) Assumendo che i vincoli precedenti rimangono invariati, si determinino 
% i pesi ottimali, il rendimento atteso e la varianza di un qualsiasi altro portafogli efficiente. 

% Esempio: Fissa un rendimento atteso maggiore di "mu_min". Ad esempio, se il rendimento atteso è 0.7,
% i pesi ottimali e la varianza del portafogli efficiente sono uguali a:
 
mu_i=0.7;
[X, fval] = fmincon(@(x) sqrt(x'*A*x), ...    % fissa l'obiettivo
                ones(n,1)/n, ...              % imposta i valori di ipotesi/partenza
                [1 0 1], 1, ...               % vincolo di disuguaglianza
[ones(1,n); m],....                           % primo vincolo di uguaglianza: somma(pesi) = 1                    
[1 ; mu_i ], ...                              % secondo vincolo di uguaglianza: valore atteso portafogli = mu_i           						  
zeros(n,1),[]);                               % vincolo di disuguaglianza
X;                                            % le quote del portafogli
sigma_2 = fval^2;                             % la varianza

%% 3. (4 punti) Supponendo che il rendimento atteso di un portafogli efficiente sia uguale a 0.4, si trovino 
%  i pesi ottimali e la varianza del portafogli efficiente soggetto ai vincoli di bilancio 
% e i vincoli "x_1>=0, x_2>=0, x_3>=0", "x_1+x_2>=1" e "x_2+x_3=0.6", dove x_1, x_2 e x_3 danno rispettivamente 
% i pesi del titolo 1, 2 e 3.

m_des=0.4;
[Xnew, fvalnew] = fmincon(@(x) sqrt(x'*A*x), ...    % fissa l'obiettivo
                ones(n,1)/n, ...                    % imposta i valori di ipotesi/partenza
                [-1 -1  0], -1, ...                 % vincolo di disuguaglianza
                [ones(1,n); 0 1 1; m],[1; 0.6; m_des], ...    % vincoli di uguaglianza
                zeros(n,1),[]);                     % vettore lb
                mu_min=m*Xnew;                      % il rendimento atteso
                fvalnew^2;                          % la varianza
                Xnew;                               % quote di portafogli