%% Esame MQF 24/05/2022 PARTE I
% Il file missing2022.xlsx contiene i 
% rendimenti mensili di 5 titoli (variabili) nel periodo mar2008-ago 2019
% (l'ultima colonna è il rendimento dell'indice di mercato)
%
% 1) Caricare i dati presenti in questo file in una timetable.
% 2) analizzare la presenza di valori
% mancanti. Discutere se la distribuzione dei missing può essere ritenuta
% casuale. 
% 3) Rimuovere le variabili che presentano più di 20 valori mancanti.
% Sul dataset ridotto utilizzare solo le righe che non presentano
% valori mancanti.
% 4) Calcolare e discutere l'indice Beta. Mostrare il titolo con il più
% alto valore dell'indice Beta
%
%
% 5) Calcolare i rendimenti medi annuali dei titoli. Rappresentare
% graficamente le serie dei rendimenti annuali
% 6) Estrarre in una nuova timetable denominata con le prime tre lettere del
% proprio cognome i rendimendi the vanno dal primo di marzo 2009 al 30
% aprile 2012. Calcolare la media e mediana dei rendimenti relativi al
% periodo estratto.
% 7) Rappresentare graficamente tramite la funzione plot la media e mediana
% dei rendimenti

% Soluzione

%%  1) Caricare i dati presenti in questo file in una timetable.
X=readtimetable('missing2022.xlsx');

%% Analisi dei valori mancanti (funzione mdpattern di FSDA toolbox)
Ypat=mdpattern(X(:,2:end));
% Commento: La distribuzione dei missing è sicuramente non casuale. Il
% titolo 3 è quello che presenta un numero di valori mancanti molto
% superiore a quello delle altre variabili

% Rimuovo la variabile che presenta più di 20 valori mancanti
X(:,"titolo3")=[];

% Sul dataset ridotto utilizzare solo le righe che non presentano
% valori mancanti.
X1=rmmissing(X);


%% % 4) Calcolare e discutere l'indice Beta. Mostrare il titolo con il più
% alto valore dell'indice Beta
% Indice Beta
% E' la pendenza in una regressione semplice in cui la variabile
% esplicativa X è il rendimento dell indice di mercato (𝑠_𝑚) e la
% variabile dipendente Y è il rendimento del titolo j  (𝑠_𝑗)
% Indice Beta >1 (b>1) = Il titolo è più volatile (più rischioso) rispetto
% all'indice di mercato nel suo complesso. 
% Indice Beta <1  (b<1) = Il titolo è meno volatile (meno rischioso)
% rispetto all%indice di mercato nel suo complesso, ossia risente poco
% delle fluttuazioni di mercato. 
%

p=size(X1,2)-1;
% Beta = inizializzo il vettore che conterrà i valori dell'indice beta
Beta=zeros(p,1);

for j=1:p
    outj=fitlm(X1{:,'Rendimento_mercato'},X1{:,j});
    Beta(j)=outj.Coefficients.Estimate(2);
end
nomivar=X1.Properties.VariableNames(1:p);
BetaT=array2table(Beta,"RowNames",nomivar,"VariableNames","Indici Beta");
disp(BetaT)

% indmaxBeta= riga dove si trova il valore più grande dell'indice Beta
[~,indmaxBeta]=max(Beta);
disp('titolo con il valore più alto dell indice Beta')
disp(BetaT(indmaxBeta,:))


%% Calcolo rendimenti annuali e rappresentazione grafica
% 5) Calcolare i rendimenti medi annuali dei titoli. Rappresentare
% graficamente le serie dei rendimenti annuali

Yannuale= retime(X,'yearly','mean');
stackedplot(Yannuale)
title('Rendimenti annuali');

%% 6) Estrarre in una nuova timetable denominata con le prime tre lettere del
% proprio cognome i rendimendi the vanno dal primo di marzo 2009 al 30
% aprile 2012
seltime = timerange('2009-03-1','2012-04-30');
RIA=X1(seltime,:);
% Media dei rendimenti nel periodo estratto
RENDMEDI=mean(RIA{:,:});
% Mediana dei rendimenti nel periodo estratto
RENDMEDIANI=median(RIA{:,:});

%% 7) Rappresentare graficamente la media e mediana dei rendimenti
close all
plot([RENDMEDI',RENDMEDIANI'],'o')
legend(["Media" "Mediana"])
xlim([1 4])
xticks(gca,1:4);
xticklabels(RIA.Properties.VariableNames);

%% ESERCIZIO 1 PARTE II
% Due titoli azionari al variare degli stati del mondo presentano i 
% seguenti rendimenti e probabilità (p):
%          % r_1      r_2    p
% Rialzo:   10%       5%    40%
% Constanza: 5%       1%    30%  
% Ribasso:   0%       8%    30%
%1. Calcolare i rendimenti attesi dei due titoli e le lore varianze.
%
% 2. Calcolare il coefficiente di correlazione tra i rendimenti dei due
% titoli.
%
% 3.  Si suppone di voler costruire un portafoglio fatto dei due titoli.
% Il peso del primo titolo è uguale a 30% e quello del secondo uguale a
% 70%. Calcolare il rendimento atteso del portafogli e la sua deviazione
% standard. 

%% Esercizio 1. punto 1. PARTE II
%rendimento atteso del primo titolo
%utilizzando le matrici
r_1=[10/100 5/100 0/100];
p=[40/100; 30/100; 30/100];
mu_1=r_1*p;
%rendimento atteso del secondo titolo
%utilizzando le matrici
r_2=[5/100 1/100 8/100];
p=[40/100; 30/100; 30/100];
mu_2=r_2*p;
%varianza del primo titolo
%utilizzando le matrici
dev_12=(r_1-mu_1).^2;
var_1=dev_12*p;
%varianza del secondo titolo
%utilizzando le matrici
dev_22=(r_2-mu_2).^2;
var_2=dev_22*p;

%%  Esercizio 1. punto 2. PARTE II
%Bisogna prima calcolare la covarianza tra i due titoli.
%utilizzando le matrici
cov_12=(r_1-mu_1).*(r_2-mu_2)*p;
%%Il coefficiente di correlazione è uguale
rho_12=cov_12/(sqrt(var_1)*sqrt(var_2));

%% Esercizio 1. punto 3. PARTE II
x_1=30/100; 
x_2=70/100;
%%%%rendimento atteso del portafogli mu_p
%vettore dei rendimenti attesi
mu=[mu_1 mu_2];
%vettore dei pesi
%utilizzando le matrici
x=[x_1 x_2];
%%%%calcolo mu_p
%utilizzando le matrici
mu_p=mu*x';
%%matrice di varianze-covarianze
V=[var_1 rho_12*var_1*var_2; rho_12*var_1*var_2 var_2];
%%Calcolo la deviazione standard del portafogli
%utilizzando le matrici
devst_p=sqrt(x*V*x');


%% ESERCIZIO 2 PARTE II
% Si consideri un mercato finanziario nel quale vi sono tre titoli aleatori caratterizzati
% da rendimenti medi uguale a mu_1 = 10%, mu_2 = 12%, mu_3 = 15% e deviazioni standard uguali, rispettivamente, a 
% 1%, 2% e 3%. Supponendo che i tre rendimenti non siano correlati (ovvero che la matrice delle varianze e covarianze sia
% diagonale), i titoli si possano vendere allo scoperto e che il vincolo di budget sia soddisfatto:
%
% 1. Calcolare il portafoglio di minima varianza.
% 2. Si calcoli la quota da investire nel secondo titolo per avere un
%portafogli di rendimento atteso uguale a 0.2.


%%   Esercizio 2. punto 1.  PARTE II
mu=[10/100; 12/100; 15/100]; 
V=[1/100 0 0; 0 2/100 0 ; 0 0 3/100];

n=3;
[Xmin, fvalmin] = fmincon(@(x) sqrt(x'*V*x), ... % fissa l'obiettivo
                ones(n,1)/n, ...               % imposta i valori di ipotesi/partenza
                [], [], ...                    % nessun vincolo di disuguaglianza
                ones(1,n), ...     	   % termine A -> vincolo di uguaglianza Aeq*x=beq
                1, ...           % termine b -> vincolo di uguaglianza Aeq*x=beq
				...							   % vincolo : somma(pesi) = 1
                zeros(n, 1), [],...    % limite inferiore e limite superiore su x                
                []);
mu_min=Xmin'*mu;%rendimento atteso
fvalmin; %deviazione standard
Xmin; %quote del portafoglio

%%  Esercizio 2. punto 2.  PARTE II
[Xnew, fvalnew]=fmincon(@(x) sqrt(x'*V*x), ... % fissa l'obiettivo
ones(n,1)/n, ...               % imposta i valori di ipotesi/partenza
[], [], ...                    % nessun vincolo di disuguaglianza
[ones(1,n) ; mu'],....
[ 1 ; 0.2 ], ...
...							  % primo vincolo : somma(pesi) = 1
...							  % secondo vincolo : valore atteso portafoglio = 0.4
[], [],...
[]);
Xnew(2);%è la quota da investire nel primo titolo

%% ESERCIZIO 3 PARTE II

% Due titoli azionari hanno rendimenti medi del 10% e del 15%. Gli scarti quadratici
% medi (deviazioni standard) sono 1% e 2% e il coefficiente di correlazione vale 1.
%
% 1. Si calcoli e si rappresenti graficamente la frontiera
% efficiente dove le vendite allo scoperto siano possibili e il vincolo di bugdet è soddisfato.

% 2.Supponete che il rendimento del titolo certo sia uguale rf=0.008. Calcolate la frontiera efficiente con il titolo non rischioso incluso.  
% Sovrapporre al grafico precedente il grafico della nuova frontiera efficiente. 


%% Esercizio 3 punto 1. PARTE II  

mu=[10/100; 15/100]; 
V=[1/100 1/100*2/100*1; 1/100*2/100*1 2/100];

%%1. 
%si calcoli prima il portafoglio di minima varianza
n=2;
[Xmin, fvalmin] = fmincon(@(x) sqrt(x'*V*x), ... % fissa l'obiettivo
                ones(n,1)/n, ...               % imposta i valori di ipotesi/partenza
                [], [], ...                    % nessun vincolo di disuguaglianza
                ones(1,n), ...     	   % termine A -> vincolo di uguaglianza Aeq*x=beq
                1, ...           % termine b -> vincolo di uguaglianza Aeq*x=beq
				...							   % vincolo : somma(pesi) = 1
                zeros(n, 1), [],...    % limite inferiore e limite superiore su x                
                []);
mu_min=Xmin'*mu;%rendimento atteso
fvalmin; %deviazione standard
Xmin; %quote di portafogli

% frontiera efficiente
numberp    = 40;                                       % numero di punti della frontiera efficiente
mu_in    = linspace(mu_min,max(mu),numberp); 			% il valore atteso desiderato
sigma_in = zeros(numberp,1);

for i=1:numberp
    %%% per ciascun valore atteso calcola
    %%% la funzione di covarianza utilizzando fmincon
    [X, fval] = fmincon(@(x) sqrt(x'*V*x), ... % fissa l'obiettivo
                ones(n,1)/n, ...               % imposta i valori di ipotesi/partenza
                [], [], ...                    % nessun vincolo di disuguaglianza
[ones(1,n) ; mu'],....                         
[ 1 ; mu_in(i) ], ...           % primo vincolo : somma(pesi) = 1
				...			   % secondo vincolo : valore atteso portafogli = mu_i  			 
				...							  
zeros(n, 1), [],...
[]);
sigma_in(i) = fval;    % memorizzare la devizione standard
end

%% Esercizio 3 punto 2. PARTE II  

%frontiera con risk-free rate
rf=0.008;
mu_n    = 50; % numero di punti della frontiera efficiente
ER_i    = linspace(min(mu),max(mu),mu_n);
sigma_i = ones(mu_n,1);     
%la nostra guess
valore_iniziale = ones(n,1)/n;
for i=1:mu_n
    %%% per ciascun rendimento mu_n calcola
    %%% il portafoglio di min-var utilizzando la funzione fmincon
    [~, fval] = fmincon(@(x) sqrt(x'*V*x), ... % fissa l'obiettivo
                valore_iniziale, ...               % imposta i valori di ipotesi/partenza
                [], [], ...                    % nessun vincolo di disuguaglianza
 mu'-rf*ones(1,n), ...     %  termine A -> vincolo di uguaglianza Aeq*x=beq
ER_i(i)-rf, ...           % termine b -> vincolo di uguaglianza Aeq*x=beq
                []);
    sigma_i(i) = fval;    % memorizza i risultati
end

%fai il plotting
plot(sigma_in,mu_in,'r')
xlabel('Rischio (std)');
ylabel('Valore atteso');
legend('Frontiera Efficiente')
hold on
sigma_inew=[0;sigma_i];
ER_inew=[rf;ER_i'];
plot(sigma_inew,ER_inew, 'k'  )
ylim([0 0.155])
legend('Frontiera efficiente con soli titoli rischiosi','Frontiera efficiente con titoli rischiosi e il titolo risk-free', 'Location','northwest')