%%
% Calcolare in maniera simbolica l'espansione in serie di Taylor attorno al
% punto x=1 della funzione log(x)
% https://www.mathworks.com/help/symbolic/sym.taylor.html#busozb7-8:
%
% a) fino al quarto ordine;
%
% b) fino al secondo ordine (ossia con una parabola);
%
% c) fino al primo ordine (ossia con una  retta);
%
% Mostrare le 4 approssimazioni con la funzione disp.
%
% 2) Costruire in maniera simbolica il grafico della funzione log(x):
% (utilizzare una LineWidth=2), la sua approssimazione in serie di Taylor
% attorno al punto x=1, con un polinomio di grado 1 e con un polinomio di
% grado 2. Aggiungere al grafico la legenda delle tre curve.
%
% 3) Calcolare in maniera simbolica il limite di log(x)/(x-1) quando x
% tende a uno. In linguaggio Latex si scrive:
% 
% $$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\log x}{x-1}$$
%
% Per visualizzare l'output della precedente formula
% occorre salvare il file in formato mlx.
%
% 4) Ripetere i punti 1, 2 e 3 di cui sopra con riferimento alla funzione
% log(x+1), x tende a zero e l'espansione è nel punto x=0


%% Soluzione
% Osservazione: Per far funzionare le istruzioni che seguono è necessario scaricare 
% ed installa il symbolic math toolbox

syms x

%% 1) Soluzione
% Calcolare in maniera simbolica l'espansione in serie di Taylor attorno al
% punto x=1 della funzione log(x)
% https://www.mathworks.com/help/symbolic/sym.taylor.html#busozb7-8
% a) fino al quarto ordine, 
% b) fino al secondo ordine (ossia con una parabola)
% c) fino al primo ordine (ossia con una  retta)
% Mostrare le 3 approssimazioni con la funzione disp

f=log(x);
% Osservazione per avere un'espansione fino all'ordine k 'Order' deve essere
% inserito come k+1

T4 = taylor(f, x, 'ExpansionPoint', 1,'Order',5);
T2 = taylor(f, x, 'ExpansionPoint', 1,'Order',3);
T1 = taylor(f, x, 'ExpansionPoint', 1,'Order',2);
disp('Espansione in serie di Taylor di log(x) fino al quarto ordine in x=1')
disp(T4)
disp('Espansione in serie di Taylor di log(x) fino al secondo ordine in x=1')
disp(T2)
disp('Espansione in serie di Taylor di log(x) fino al primo ordine in x=1')
disp(T1)

%% 2) Grafico in maniera simbolica
% Costruire in maniera simbolica il grafico della funzione log(x)
% (utilizzare una LineWidth=2), la sua approssimazione in serie di Taylor
% attorno al punto x=1, con un polinomio di grado 1 e con un polinomio di
% grado 2. Aggiungere al grafico la legenda delle tre curve.

fplot([f T1 T2],'LineWidth',2)
grid on
legend({'log(x)' 'Approssimazione di log(x) nel punto x=1 con una retta',...
    'Approssimazione di log(x) nel punto x=1 con una parabola'},...
'Location','Best')
title('log(x) ed espansione in serie di Taylor di log(x) nel punto x=1')

%% Calcolo del limite
disp(limit(log(x)/(x-1),x,1))
% Il limite per x che tende a uno, tende ad uno

%% Espansione in serie di Taylor di log(x+1) nel punto x=0
f=log(x+1);
T4 = taylor(f, x, 'ExpansionPoint', 0,'Order',5);
T2 = taylor(f, x, 'ExpansionPoint', 0,'Order',3);
T1 = taylor(f, x, 'ExpansionPoint', 0,'Order',2);

% Mostro le 3 funzioni
disp('Espansione in serie di Taylor di log(x+1) fino al quarto ordine in x=0')
disp(T4)
disp('Espansione in serie di Taylor di log(x+1) fino al secondo ordine in x=0')
disp(T2)
disp('Espansione in serie di Taylor di log(x+1) fino al primo ordine in x=0')
disp(T1)

%% Grafico
fplot([f T1 T2],'LineWidth',2)
grid on
legend({'log(x+1)' 'Approssimazione di log(x+1) nel punto x=0 con una retta',...
    'Approssimazione di log(x+1) nel punto x=0 con una parabola'},...
'Location','Best')
title('log(x+1) ed espansione in serie di Taylor di log(x+1) nel punto x=0')

%% Calcolo del limite
disp(limit(log(x+1)/(x),x,0))
% Il limite per x che tende a zero, tende ad uno